Algèbre Exemples

$y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \csc (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ . Définissez l’intérieur de la fonction cosécante, $b x + c$ , pour $y = a \csc (b x + c) + d$ égal à $0$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se produit pour $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ .

$2 x + \frac{π}{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.3.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction cosécante $2 x + \frac{π}{2}$ égal à $2 π$ .

$2 x + \frac{π}{2} = 2 π$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.4.1.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.4.1.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.4.1.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.4.1.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.4.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.5

La période de base pour $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ se produit sur $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ , où $- \frac{π}{4}$ et $\frac{3 π}{4}$ sont des asymptotes verticales.

$(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 1.6.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.6.2.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ se produisent sur $- \frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ et chaque $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Étape 1.8

La cosécante n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ où $n$ est un entier

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ où $n$ est un entier

Étape 2

Utilisez la forme $a \csc (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 2$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 3$

Étape 3

Comme le graphe de la fonction $c s c$ n’a pas de valeur maximale ni minimale, il ne peut y avoir aucune valeur pour l’amplitude.

Amplitude : Aucune

Étape 4

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 4.1

Déterminez la période de $- 2 \csc (2 x + \frac{π}{2})$ .

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Étape 4.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.1.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 4.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2

Déterminez la période de $3$ .

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Étape 4.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 4.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$π$

Étape 5

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 5.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.4

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

Déphasage : $- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

Déphasage : $- \frac{π}{4}$

Étape 6

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : Aucune

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : $3$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ où $n$ est un entier

Amplitude : Aucune

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : $3$

Étape 8