Algèbre Exemples

${(1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(1 + i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ .

$(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$

Étape 2

Développez $(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 3.1.2

Multipliez $i \sqrt{3}$ par $1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 3.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 3.1.4

Multipliez $i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Étape 3.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i^{1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 3.1.4.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Étape 3.1.4.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Étape 3.1.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 3.1.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{1}$

Étape 3.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3$

Étape 3.1.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 2$

Étape 3.3

Additionnez $i \sqrt{3}$ et $i \sqrt{3}$ .

$2 i \sqrt{3} - 2$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $2 i \sqrt{3}$ et $- 2$ .

$- 2 + 2 i \sqrt{3}$