Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 11 x + 18}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \div \frac{x^{2} - 4 x - 12}{36 - x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 11 x + 18}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 11 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $11$ .

$2, 9$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x^{1}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x \cdot 1} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{1^{2} - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 8 x - 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 9$ et dont la somme est $8$ .

$- 1, 9$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x + 9)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x + 9$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x + 9$ à partir de $(x + 2) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x + 9)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x + 9$ à partir de $(x - 1) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x + 9) (x - 1)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x + 9) (x - 1)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 1} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{x + 2}{x (x + 1)}$ par $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) ((1 + x) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $1 + x$ et $x + 1$ .

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Étape 6.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 2) ((x + 1) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) ((x + 1) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 2) (1 - x)}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $1 - x$ et $x - 1$ .

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Étape 6.4.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1) - x)}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1) - (x))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1 + x))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 2) (- 1 (x - 1))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (- 1 (x - 1))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 2) \cdot (- 1)}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x + 2$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + 2)}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 6.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{6^{2} - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6$ et $b = x$ .

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Étape 8

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x + 2}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- (x + 2)}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Étape 9.1.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $- (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Étape 9.1.3

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x - 6) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x + 2) (x - 6)}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x + 2) (x - 6)}$

Étape 9.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x - 6}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{- 1}{x}$ par $\frac{(6 + x) (6 - x)}{x - 6}$ .

$\frac{- ((6 + x) (6 - x))}{x (x - 6)}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $6 - x$ et $x - 6$ .

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Étape 9.3.1

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6) - x))}{x (x - 6)}$

Étape 9.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6) - (x)))}{x (x - 6)}$

Étape 9.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6 + x)))}{x (x - 6)}$

Étape 9.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- (6 + x) (- 1 (x - 6))}{x (x - 6)}$

Étape 9.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (6 + x) (- 1 (x - 6))}{x (x - 6)}$

Étape 9.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (6 + x) \cdot (- 1)}{x}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 (6 + x)}{x}$

Étape 10.2

Multipliez $6 + x$ par $1$ .

$\frac{6 + x}{x}$