Algèbre Exemples

$x^{4} = \frac{16}{81}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{16}{81}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - \frac{16}{81} = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - \frac{16}{81} = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{16}{81}$ comme ${(\frac{4}{9})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - {(\frac{4}{9})}^{2} = 0$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = \frac{4}{9}$ .

$(x^{2} + \frac{4}{9}) (x^{2} - \frac{4}{9}) = 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\frac{4}{9}$ comme ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

$(x^{2} + \frac{4}{9}) (x^{2} - {(\frac{2}{3})}^{2}) = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez.

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Étape 2.4.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = \frac{2}{3}$ .

$(x^{2} + \frac{4}{9}) ((x + \frac{2}{3}) (x - \frac{2}{3})) = 0$

Étape 2.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + \frac{4}{9}) (x + \frac{2}{3}) (x - \frac{2}{3}) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + \frac{4}{9} = 0$

$x + \frac{2}{3} = 0$

$x - \frac{2}{3} = 0$

Étape 4

Définissez $x^{2} + \frac{4}{9}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + \frac{4}{9}$ égal à $0$ .

$x^{2} + \frac{4}{9} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + \frac{4}{9} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $\frac{4}{9}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - \frac{4}{9}$

Étape 4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- \frac{4}{9}$ comme ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2}}$

Étape 4.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2 i}{3}$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 i}{3}$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 i}{3}$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

Étape 5

Définissez $x + \frac{2}{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + \frac{2}{3}$ égal à $0$ .

$x + \frac{2}{3} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\frac{2}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 6

Définissez $x - \frac{2}{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - \frac{2}{3}$ égal à $0$ .

$x - \frac{2}{3} = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $\frac{2}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{2}{3}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + \frac{4}{9}) (x + \frac{2}{3}) (x - \frac{2}{3}) = 0$ vraie.

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$