Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{- 4}}{(3 + i) - (2 + 3 i)}$

Étape 1

Extrayez l’unité imaginaire $i$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{\sqrt{- 1 (4)}}{(3 + i) - (2 + 3 i)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$\frac{\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{(3 + i) - (2 + 3 i)}$

Étape 1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{4}}{(3 + i) - (2 + 3 i)}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{i \sqrt{2^{2}}}{3 + i - (2 + 3 i)}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{i \cdot 2}{3 + i - (2 + 3 i)}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \cdot 2}{3 + i - 1 \cdot 2 - (3 i)}$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{i \cdot 2}{3 + i - 2 - (3 i)}$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{i \cdot 2}{3 + i - 2 - 3 i}$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{i \cdot 2}{1 + i - 3 i}$

Étape 3.5

Soustrayez $3 i$ de $i$ .

$\frac{i \cdot 2}{1 - 2 i}$

Étape 4

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{2 i}{1 - 2 i}$

Étape 5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 i}{1 - 2 i}$ par le conjugué de $1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 i}{1 - 2 i} \cdot \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i}$

Étape 6

Multipliez.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{2 i (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i \cdot 1 + 2 i (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 i + 2 i (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.3

Multipliez $2 i (2 i)$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 i + 4 i i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i + 4 (i^{1} i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i + 4 (i^{1} i^{1})}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 i + 4 i^{1 + 1}}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i + 4 i^{2}}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 i + 4 \cdot - 1}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2 i - 4}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.2.5

Remettez dans l’ordre $2 i$ et $- 4$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Développez $(1 - 2 i) (1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 + 2 i}{1 (1 + 2 i) - 2 i (1 + 2 i)}$

Étape 6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 + 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i (1 + 2 i)}$

Étape 6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 + 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 6.3.2

Simplifiez

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 6.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 2 i (2 i)}$

Étape 6.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i}$

Étape 6.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 6.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 6.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}}$

Étape 6.3.2.9

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 6.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 - 4 i^{2}}$

Étape 6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 - 4 \cdot - 1}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{1 + 4}$

Étape 6.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{- 4 + 2 i}{5}$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{- 4 + 2 i}{5}$ en deux fractions.

$\frac{- 4}{5} + \frac{2 i}{5}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5} + \frac{2 i}{5}$