Algèbre Exemples

$1 + \frac{5}{a - 1} \leq \frac{7}{6}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{7}{6}$ des deux côtés de l’inégalité.

$1 + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $1 + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6}$ .

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Étape 2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a - 1}{a - 1} + \frac{5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a - 1 + 5}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Étape 2.3

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} - \frac{7}{6} \leq 0$

Étape 2.4

Pour écrire $\frac{a + 4}{a - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{7}{6} \leq 0$

Étape 2.5

Pour écrire $- \frac{7}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a + 4}{a - 1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{7}{6} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} \leq 0$

Étape 2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 1) \cdot 6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{a + 4}{a - 1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{(a - 1) \cdot 6} - \frac{7}{6} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} \leq 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $\frac{7}{6}$ par $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{(a - 1) \cdot 6} - \frac{7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.6.3

Réorganisez les facteurs de $(a - 1) \cdot 6$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 6}{6 (a - 1)} - \frac{7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a + 4) \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot 6 + 4 \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.8.2

Déplacez $6$ à gauche de $a$ .

$\frac{6 \cdot a + 4 \cdot 6 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.8.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{6 \cdot a + 24 - 7 (a - 1)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 a + 24 - 7 a - 7 \cdot - 1}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.8.5

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$\frac{6 a + 24 - 7 a + 7}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.8.6

Soustrayez $7 a$ de $6 a$ .

$\frac{- a + 24 + 7}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.8.7

Additionnez $24$ et $7$ .

$\frac{- a + 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{- (a) + 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.10

Réécrivez $31$ comme $- 1 (- 31)$ .

$\frac{- (a) - 1 (- 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (- 31)$ .

$\frac{- (a - 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.12

Réécrivez $- (a - 31)$ comme $- 1 (a - 31)$ .

$\frac{- 1 (a - 31)}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a - 31}{6 (a - 1)} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$a - 31 = 0$

$a - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $31$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 31$

Étape 5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 1$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$a = 31$

$a = 1$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$a = 31, 1$

Étape 8

Déterminez le domaine de $- \frac{a - 31}{6 (a - 1)}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{a - 31}{6 (a - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$6 (a - 1) = 0$

Étape 8.2

Résolvez $a$ .

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $6 (a - 1) = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1.1

Divisez chaque terme dans $6 (a - 1) = 0$ par $6$ .

$\frac{6 (a - 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 8.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 8.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (a - 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 8.2.1.2.1.2

Divisez $a - 1$ par $1$ .

$a - 1 = \frac{0}{6}$

Étape 8.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$a - 1 = 0$

Étape 8.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 1$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $a$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$a < 1$

$1 < a < 31$

$a > 31$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $a < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $a < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $a$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{5}{(0) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 4$ est inférieur au côté droit $1.1\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < a < 31$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < a < 31$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 4$

Étape 10.2.2

Remplacez $a$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{5}{(4) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $2.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $1.1\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $a > 31$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $a > 31$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 34$

Étape 10.3.2

Remplacez $a$ par $34$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{5}{(34) - 1} \leq \frac{7}{6}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $1.\overline{15}$ est inférieur au côté droit $1.1\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$a < 1$ Vrai

$1 < a < 31$ Faux

$a > 31$ Vrai

$a < 1$ Vrai

$1 < a < 31$ Faux

$a > 31$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$a < 1$ ou $a \geq 31$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$a < 1 or a \geq 31$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup [31, \infty)$

Étape 13