Algèbre Exemples

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (8) + \log_{4} (15)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La base logarithmique $4$ de $8$ est $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} + \log_{4} (15)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} + \log_{4} (15)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \log_{4} (15)$

Étape 2

Pour écrire $\log_{4} (15)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \log_{4} (15) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Associez $\log_{4} (15)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\log_{4} (15) \cdot 2}{2}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \log_{4} (15) \cdot 2}{2}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\log_{4} (15) \cdot 2$ .

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Étape 4.1.1

Remettez dans l’ordre $\log_{4} (15)$ et $2$ .

$\frac{1 + 2 \cdot \log_{4} (15)}{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez $2 \cdot \log_{4} (15)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1 + \log_{4} (15^{2})}{2}$

Étape 4.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 + \log_{4} (225)}{2}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $\log_{4} (225)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 5.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{2}$

Étape 5.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{1 + \frac{\log (225)}{\log (4)}}{2}$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{\log (4)}{\log (4)} + \frac{\log (225)}{\log (4)}}{2}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\log (4) + \log (225)}{\log (4)}}{2}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\frac{\log (4 \cdot 225)}{\log (4)}}{2}$

Étape 5.4.2

Multipliez $4$ par $225$ .

$\frac{\frac{\log (900)}{\log (4)}}{2}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\log (900)}{\log (4)} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7

Multipliez $\frac{\log (900)}{\log (4)} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{\log (900)}{\log (4)}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log (900)}{\log (4) \cdot 2}$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $\log (4)$ et $2$ .

$\frac{\log (900)}{2 \cdot \log (4)}$

Étape 7.3

Simplifiez $2 \cdot \log (4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\log (900)}{\log (4^{2})}$

Étape 8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\log (900)}{\log (16)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (900)}{\log (16)}$

Forme décimale :

$2.45344529 \dots$