Algèbre Exemples

$f (x) = {(3 x - 1)}^{3}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x - 1$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$\frac{1}{12} {(3 x - 1)}^{4} + C$

Étape 8

La fonction $F$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$F (x) = \frac{1}{12} \cdot {(3 x - 1)}^{4} + C$