Algèbre Exemples

Simplifier $\frac{6 x^{2} - 24}{x^{2} + 9 x + 14} \div \frac{3 x^{2} + 6 x - 24}{x^{2} + 2 x - 35}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{6 x^{2} - 24}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 24$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2}) - 24}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 24$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot - 4}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 \cdot - 4$ .

$\frac{6 (x^{2} - 4)}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{6 (x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 9 x + 14} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 9 x + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $9$ .

$2, 7$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 35}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 2 x - 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 35$ et dont la somme est $2$ .

$- 5, 7$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 x^{2} + 6 x - 24}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 6 x - 24$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x^{2}) + 6 x - 24}$

Étape 6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 24}$

Étape 6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8}$

Étape 6.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8}$

Étape 6.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8$ .

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x^{2} + 2 x - 8)}$

Étape 6.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 6.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 ((x - 2) (x + 4))}$

$\frac{6 (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x - 2) (x + 4)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $3 (x - 2)$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $3 (x - 2)$ à partir de $6 (x - 2)$ .

$\frac{3 (x - 2) (2)}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x - 2) (x + 4)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x - 2) \cdot 2}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{3 (x - 2) (x + 4)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + 7} \cdot \frac{(x - 5) (x + 7)}{x + 4}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $x + 7$ à partir de $(x - 5) (x + 7)$ .

$\frac{2}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 5)}{x + 4}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 5)}{x + 4}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{x - 5}{x + 4}$

Étape 7.3

Associez $2$ et $\frac{x - 5}{x + 4}$ .

$\frac{2 (x - 5)}{x + 4}$