Algèbre Exemples

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Étape 1

Extrayez l’unité imaginaire $i$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Étape 1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Étape 1.4

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1 (2)}}$

Étape 1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 + i \cdot (2 \sqrt{2})}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{2 + 2 i \sqrt{2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{2 + 2 i \sqrt{2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$ par $\frac{1 - i \cdot \sqrt{2}}{1 - i \cdot \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 + 2 i \sqrt{2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - i \cdot \sqrt{2}}{1 - i \cdot \sqrt{2}}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 + 2 i \sqrt{2}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$ par $\frac{1 - i \cdot \sqrt{2}}{1 - i \cdot \sqrt{2}}$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i \cdot \sqrt{2})}{(1 + i \cdot \sqrt{2}) (1 - i \cdot \sqrt{2})}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i \cdot \sqrt{2})}{1 - (i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i \cdot \sqrt{2})}{3}$

Étape 5

Développez $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 - i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} (1 - i \sqrt{2})}{3}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} (1 - i \sqrt{2})}{3}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{3}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2 (i \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{3}$

Étape 6.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{3}$

Étape 6.1.4

Multipliez $2 i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3}$

Étape 6.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i) \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.4.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{3}$

Étape 6.1.4.7

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{3}$

Étape 6.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3}$

Étape 6.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} - 2 \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2}}{3}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{3}$

Étape 6.1.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Étape 6.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 6.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 6.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 6.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{1}}{3}$

Étape 6.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{3}$

Étape 6.1.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 4}{3}$

Étape 6.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} + 6}{3}$

Étape 6.3

Additionnez $- 2 i \sqrt{2}$ et $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{0 + 6}{3}$

Étape 6.4

Additionnez $0$ et $6$ .

$\frac{6}{3}$

Étape 7

Divisez $6$ par $3$ .

$2$