Algèbre Exemples

$- x^{2} + 50 > - 3 x + 10$

Étape 1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} + 50 + 3 x > 10$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 50 + 3 x = 10$

Étape 3

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 50 + 3 x - 10 = 0$

Étape 4

Soustrayez $10$ de $50$ .

$- x^{2} + 3 x + 40 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 3 x + 40$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 3 x + 40 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$- (x^{2}) - (- 3 x) + 40 = 0$

Étape 5.1.3

Réécrivez $40$ comme $- 1 (- 40)$ .

$- (x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 40 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- (x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 40 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 3 x) - 1 (- 40)$ .

$- (x^{2} - 3 x - 40) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 8, 5$

Étape 5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 8) (x + 5)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 8) (x + 5) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 7

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 8

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 8) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 8, - 5$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 8$

$x > 8$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 8)}^{2} + 50 > - 3 \cdot - 8 + 10$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 14$ n’est pas supérieur au côté droit $34$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(0)}^{2} + 50 > - 3 \cdot 0 + 10$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $50$ est supérieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(10)}^{2} + 50 > - 3 \cdot 10 + 10$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 50$ n’est pas supérieur au côté droit $- 20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 8$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 5 < x < 8$

Notation d’intervalle :

$(- 5, 8)$

Étape 14