Algèbre Exemples

$\log (x + 1) + \log (x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 1) (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1.2

Développez $(x + 1) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x (x - 3) + 1 (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\log (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\log (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\log (x^{2} - 3 x + x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 1.3.2

Additionnez $- 3 x$ et $x$ .

$\log (x^{2} - 2 x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - 2 x - 3 = 6 x^{2} - 6$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $6 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x - 3 - 6 x^{2} = - 6$

Étape 3.1.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 2 x - 3 = - 6$

Étape 3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$- 5 x^{2} - 2 x - 3 + 6 = 0$

Étape 3.3

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$- 5 x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Étape 3.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{2} - 2 x + 3$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$- (5 x^{2}) - 2 x + 3 = 0$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$- (5 x^{2}) - (2 x) + 3 = 0$

Étape 3.4.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (5 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2}) - (2 x)$ .

$- (5 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (5 x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.4.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$- (5 x^{2} + 2 (x) - 3) = 0$

Étape 3.4.2.1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$- (5 x^{2} + (- 3 + 5) x - 3) = 0$

Étape 3.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (5 x^{2} - 3 x + 5 x - 3) = 0$

Étape 3.4.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((5 x^{2} - 3 x) + 5 x - 3) = 0$

Étape 3.4.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (5 x - 3) + 1 (5 x - 3)) = 0$

Étape 3.4.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 3$ .

$- ((5 x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 3.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (5 x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.6

Définissez $5 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $5 x - 3$ égal à $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $5 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 3$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 3$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 3$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Étape 3.7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (5 x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{5}, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x + 1) + \log (x - 3) = \log (6 x^{2} - 6)$ vrai.

$Aucune solution$