Algèbre Exemples

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} < \frac{5}{a + b}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{5}{a + b}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b}$ .

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Étape 2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{3 x}{a - b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + b) (a - b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{3 x}{a - b}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x + 3 x (a + b)$ .

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Étape 2.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $3 x (a + b)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.5.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (3 (a + b))$ .

$\frac{x (1 + 3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- \frac{5}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} < 0$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{5}{a + b}$ par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Étape 2.9.2

Simplifiez

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Étape 2.9.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Étape 2.9.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x + 3 x a + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Étape 2.9.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Étape 2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a - 5 (- b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Étape 2.9.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} < 0$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $(a + b) (a - b)$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b))$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $(a + b) (a - b)$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Étape 4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Étape 4.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.1.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x + 3 a x + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Étape 4.1.1.2.2

Déplacez $x$ .

$x + 3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Étape 4.1.1.2.3

Déplacez $x$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 ((a + b) (a - b))$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $0 ((a + b) (a - b))$ .

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Étape 4.2.1.1

Développez $(a + b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a (a - b) + b (a - b))$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b (a - b))$

Étape 4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1.2.1

Associez les termes opposés dans $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Étape 4.2.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $a (- b)$ et $b a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a - a b + a b + b (- b))$

Étape 4.2.1.2.1.2

Additionnez $- a b$ et $a b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + 0 + b (- b))$

Étape 4.2.1.2.1.3

Additionnez $a \cdot a$ et $0$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + b (- b))$

Étape 4.2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.2.2.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} + b (- b))$

Étape 4.2.1.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b \cdot b)$

Étape 4.2.1.2.2.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.2.3.1

Déplacez $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - (b \cdot b))$

Étape 4.2.1.2.2.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b^{2})$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $0$ par $a^{2} - b^{2}$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $5 a$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 a x + 3 b x + 5 b + x < 5 a$

Étape 5.1.2

Soustrayez $5 b$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 a x + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $3 a x + 3 b x + x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 a x$ .

$x (3 a) + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Étape 5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $3 b x$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Étape 5.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Étape 5.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Étape 5.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (3 a) + x (3 b)$ .

$x (3 a + 3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Étape 5.2.6

Factorisez $x$ à partir de $x (3 a + 3 b) + x \cdot 1$ .

$x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ par $3 a + 3 b + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ par $3 a + 3 b + 1$ .

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 a + 3 b + 1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x < \frac{5 a - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $5$ à partir de $5 a - 5 b$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 a$ .

$x < \frac{5 (a) - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 b$ .

$x < \frac{5 (a) + 5 (- b)}{3 a + 3 b + 1}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (a) + 5 (- b)$ .

$x < \frac{5 (a - b)}{3 a + 3 b + 1}$