Algèbre Exemples

$\frac{2 x - 5}{4 x + 10} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x - 5 = 0$

$4 x + 10 = 0$

Étape 2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 4

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 10$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $4 x = - 10$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 10$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 10}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $4$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$x = \frac{2 (- 5)}{4}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{5}{2}$

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{2 x - 5}{4 x + 10}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 5}{4 x + 10}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x + 10 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 10$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 10$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 10$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 10}{4}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $4$ .

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Étape 8.2.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$x = \frac{2 (- 5)}{4}$

Étape 8.2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 8.2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 5) - 5}{4 (- 5) + 10} \leq 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $1.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0) - 5}{4 (0) + 10} \leq 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (5) - 5}{4 (5) + 10} \leq 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0.1\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{5}{2}$ Faux

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$x > \frac{5}{2}$ Faux

$x < - \frac{5}{2}$ Faux

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$x > \frac{5}{2}$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{5}{2} < x \leq \frac{5}{2}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{5}{2} < x \leq \frac{5}{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}]$

Étape 13