Algèbre Exemples

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

Étape 1.2

Soustrayez $y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

Étape 1.3

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

Étape 1.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

Étape 1.4.2

Factorisez $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.4.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Étape 1.4.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Étape 1.4.2.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.4.2.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Étape 1.4.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Étape 1.4.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Étape 1.4.2.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

Étape 1.4.2.3.5

Multipliez $9$ par $9$ .

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

Étape 1.4.2.3.6

Additionnez $- 27$ et $81$ .

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

Étape 1.4.2.3.7

Multipliez $- 27$ par $3$ .

$54 - 81 + 27$

Étape 1.4.2.3.8

Soustrayez $81$ de $54$ .

$- 27 + 27$

Étape 1.4.2.3.9

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$0$

Étape 1.4.2.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $y - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

Étape 1.4.2.5

Divisez $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ par $y - 3$ .

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Étape 1.4.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

Étape 1.4.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- y^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

Étape 1.4.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Étape 1.4.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- y^{3} + 3 y^{2}$

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Étape 1.4.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

Étape 1.4.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Étape 1.4.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Étape 1.4.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

Étape 1.4.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 y^{2} - 18 y$

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

Étape 1.4.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

Étape 1.4.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Étape 1.4.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Étape 1.4.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

Étape 1.4.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 y + 27$

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

Étape 1.4.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

Étape 1.4.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- y^{2} + 6 y - 9$

Étape 1.4.2.6

Écrivez $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ comme un ensemble de facteurs.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

Étape 1.4.3

Factorisez.

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Étape 1.4.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.4.3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ et dont la somme est $b = 6$ .

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Étape 1.4.3.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 y$ .

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

Étape 1.4.3.1.1.2

Réécrivez $6$ comme $3$ plus $3$

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

Étape 1.4.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

Étape 1.4.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.4.3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

Étape 1.4.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

Étape 1.4.3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- y + 3$ .

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

Étape 1.4.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4

Associez les exposants.

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - 1 (3)$ .

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.4

Élevez $- y + 3$ à la puissance $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.5

Élevez $- y + 3$ à la puissance $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.9

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.11

Réécrivez $- (y - 3)$ comme $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.12

Appliquez la règle de produit à $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.14

Multipliez ${(y - 3)}^{2}$ par $1$ .

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Étape 1.4.4.15

Élevez $y - 3$ à la puissance $1$ .

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

Étape 1.4.4.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

Étape 1.4.4.17

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.5.2.2

Divisez ${(y - 3)}^{3}$ par $1$ .

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(y - 3)}^{3} = 0$

Étape 1.6

Définissez le $y - 3$ égal à $0$ .

$y - 3 = 0$

Étape 1.7

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3$

Étape 2

Définissez $9 y^{2} - 27 y$ égal à $0$ .

$3 = 0$

Étape 3

Comme $3 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution