Algèbre Exemples

${(x^{2} + 3 x + 3)}^{\frac{4}{3}} = 1$

Étape 1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{4}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x^{2} + 3 x + 3)}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 3 x + 3)}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 3 x + 3)}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 3 x + 3)}^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 3 x + 3)}^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 3 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 3 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 3 x + 3)}^{1} = \pm 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 3 x + 3 = \pm 1^{\frac{3}{4}}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} + 3 x + 3 = \pm 1$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x^{2} + 3 x + 3 = 1$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 x + 3 - 1 = 0$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x + 2) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 2$

Étape 3.9

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x^{2} + 3 x + 3 = - 1$

Étape 3.10

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.10.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 x + 3 + 1 = 0$

Étape 3.10.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 0$

Étape 3.11

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.12

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 3.13.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.1.3

Soustrayez $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 3.14

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 3.15

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - 1, - 2, - \frac{3 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{2}$