Algèbre Exemples

$f (x) = x^{3} {(x + 3)}^{2} (x - 5)$

Étape 1

Simplifiez le polynôme, puis remettez dans l’ordre de gauche à droite en commençant par le terme de degré le plus élevé.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$f (x) = x^{3} ((x + 3) (x + 3)) (x - 5)$

Étape 1.2

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = x^{3} (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (x - 5)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = x^{3} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (x - 5)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = x^{3} (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 5)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = x^{3} (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 5)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f (x) = x^{3} (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (x - 5)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (x) = x^{3} (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (x - 5)$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$f (x) = x^{3} (x^{2} + 6 x + 9) (x - 5)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{3} x^{2} + x^{3} (6 x) + x^{3} \cdot 9) (x - 5)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = (x^{3 + 2} + x^{3} (6 x) + x^{3} \cdot 9) (x - 5)$

Étape 1.5.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (x) = (x^{5} + x^{3} (6 x) + x^{3} \cdot 9) (x - 5)$

Étape 1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{3} x + x^{3} \cdot 9) (x - 5)$

Étape 1.5.3

Déplacez $9$ à gauche de $x^{3}$ .

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{3} x + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

Étape 1.6

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = (x^{5} + 6 (x \cdot x^{3}) + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

Étape 1.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = (x^{5} + 6 (x \cdot x^{3}) + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

Étape 1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{1 + 3} + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

Étape 1.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{4} + 9 \cdot x^{3}) (x - 5)$

$f (x) = (x^{5} + 6 x^{4} + 9 x^{3}) (x - 5)$

Étape 1.7

Développez $(x^{5} + 6 x^{4} + 9 x^{3}) (x - 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x) = x^{5} x + x^{5} \cdot - 5 + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1.1.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

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Étape 1.8.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = x^{5} x + x^{5} \cdot - 5 + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = x^{5 + 1} + x^{5} \cdot - 5 + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.1.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (x) = x^{6} + x^{5} \cdot - 5 + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x^{5}$ .

$f (x) = x^{6} - 5 \cdot x^{5} + 6 x^{4} x + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 (x \cdot x^{4}) + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.8.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 (x \cdot x^{4}) + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} + 6 x^{4} \cdot - 5 + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.4

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.5

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.8.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{1 + 3} + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{4} + 9 x^{3} \cdot - 5$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{4} - 45 x^{3}$

Étape 1.8.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.8.2.1

Additionnez $- 5 x^{5}$ et $6 x^{5}$ .

$f (x) = x^{6} + x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{4} - 45 x^{3}$

Étape 1.8.2.2

Additionnez $- 30 x^{4}$ et $9 x^{4}$ .

$f (x) = x^{6} + x^{5} - 21 x^{4} - 45 x^{3}$

Étape 2

Le degré d’un polynôme est le degré le plus élevé de ses termes.

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Étape 2.1

Identifiez les exposants sur les variables dans chaque terme et additionnez-les entre eux pour déterminer le degré de chaque terme.

$x^{6} \to 6$

$x^{5} \to 5$

$- 21 x^{4} \to 4$

$- 45 x^{3} \to 3$

Étape 2.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$6$

Étape 3

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{6}$

Étape 4

Le coefficient directeur d’un polynôme est le coefficient du terme principal.

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Étape 4.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{6}$

Étape 4.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 5

Indiquez les résultats.

Degré polynomial : $6$

Terme principal : $x^{6}$

Coefficient directeur : $1$