Algèbre Exemples

$(a b + a^{2} - b) (a - b^{2} + 2) - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Développez $(a b + a^{2} - b) (a - b^{2} + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$a b a + a b (- b^{2}) + a b \cdot 2 + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez $a$ .

$a \cdot a b + a b (- b^{2}) + a b \cdot 2 + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} b + a b (- b^{2}) + a b \cdot 2 + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a b \cdot b^{2} + a b \cdot 2 + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.3

Multipliez $b$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.1

Déplacez $b^{2}$ .

$a^{2} b - a (b^{2} b) + a b \cdot 2 + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $b^{2}$ par $b$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$a^{2} b - a (b^{2} b^{1}) + a b \cdot 2 + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} b - a b^{2 + 1} + a b \cdot 2 + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a b \cdot 2 + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $a b$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 \cdot (a b) + a^{2} a + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.5

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{2} a^{1} + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{2 + 1} + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} + a^{2} (- b^{2}) + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + a^{2} \cdot 2 - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $a^{2}$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 \cdot a^{2} - b a - b (- b^{2}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b^{2} - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.9

Multipliez $b$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.9.1

Déplacez $b^{2}$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} - b a - 1 \cdot - 1 (b^{2} b) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.9.2

Multipliez $b^{2}$ par $b$ .

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Étape 1.2.9.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} - b a - 1 \cdot - 1 (b^{2} b^{1}) - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} - b a - 1 \cdot - 1 b^{2 + 1} - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} - b a - 1 \cdot - 1 b^{3} - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} - b a + 1 b^{3} - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.11

Multipliez $b^{3}$ par $1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} - b a + b^{3} - b \cdot 2 - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.2.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + 2 a b + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} - b a + b^{3} - 2 b - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.3

Soustrayez $b a$ de $2 a b$ .

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Étape 1.3.1

Déplacez $b$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 a b - 1 a b + b^{3} - 2 b - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $a b$ de $2 a b$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 1 a b + b^{3} - 2 b - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + a b + b^{3} - 2 b - 2 (a^{2} - b)$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + a b + b^{3} - 2 b - 2 a^{2} - 2 (- b)$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + a b + b^{3} - 2 b - 2 a^{2} + 2 b$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + a b + b^{3} - 2 b - 2 a^{2} + 2 b$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $2 a^{2}$ de $2 a^{2}$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + a b + b^{3} - 2 b + 0 + 2 b$

Étape 2.1.2

Additionnez $a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + a b + b^{3} - 2 b$ et $0$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + a b + b^{3} - 2 b + 2 b$

Étape 2.1.3

Additionnez $- 2 b$ et $2 b$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + a b + b^{3} + 0$

Étape 2.1.4

Additionnez $a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + a b + b^{3}$ et $0$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + a b + b^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Déplacez $a b$ .

$a^{2} b - a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + b^{3} + a b$

Étape 2.2.2

Déplacez $a^{2} b$ .

$- a b^{3} + a^{3} - a^{2} b^{2} + a^{2} b + b^{3} + a b$

Étape 2.2.3

Déplacez $a^{3}$ .

$- a b^{3} - a^{2} b^{2} + a^{3} + a^{2} b + b^{3} + a b$

Étape 2.2.4

Remettez dans l’ordre $- a b^{3}$ et $- a^{2} b^{2}$ .

$- a^{2} b^{2} - a b^{3} + a^{3} + a^{2} b + b^{3} + a b$