Algèbre Exemples

$- 600 = \frac{2}{5} k^{3} + 750$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{5} k^{3} + 750 = - 600$ .

$\frac{2}{5} k^{3} + 750 = - 600$

Étape 2

Associez $\frac{2}{5}$ et $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{5} + 750 = - 600$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $k$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $750$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 k^{3}}{5} = - 600 - 750$

Étape 3.2

Soustrayez $750$ de $- 600$ .

$\frac{2 k^{3}}{5} = - 1350$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{2 k^{3}}{5} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $\frac{5}{2} \cdot \frac{2 k^{3}}{5}$ .

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Étape 5.1.1.1

Associez.

$\frac{5 (2 k^{3})}{2 \cdot 5} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Étape 5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 k^{3})}{2 \cdot 5} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Étape 5.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 k^{3}}{2} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Étape 5.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 k^{3}}{2} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Étape 5.1.1.3.2

Divisez $k^{3}$ par $1$ .

$k^{3} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{5}{2} \cdot - 1350$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1350$ .

$k^{3} = \frac{5}{2} \cdot (2 (- 675))$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$k^{3} = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 675)$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$k^{3} = 5 \cdot - 675$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 675$ .

$k^{3} = - 3375$

Étape 6

Ajoutez $3375$ aux deux côtés de l’équation.

$k^{3} + 3375 = 0$

Étape 7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Réécrivez $3375$ comme $15^{3}$ .

$k^{3} + 15^{3} = 0$

Étape 7.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = k$ et $b = 15$ .

$(k + 15) (k^{2} - k \cdot 15 + 15^{2}) = 0$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$(k + 15) (k^{2} - 15 k + 15^{2}) = 0$

Étape 7.3.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$(k + 15) (k^{2} - 15 k + 225) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$k + 15 = 0$

$k^{2} - 15 k + 225 = 0$

Étape 9

Définissez $k + 15$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 9.1

Définissez $k + 15$ égal à $0$ .

$k + 15 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$k = - 15$

Étape 10

Définissez $k^{2} - 15 k + 225$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 10.1

Définissez $k^{2} - 15 k + 225$ égal à $0$ .

$k^{2} - 15 k + 225 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $k^{2} - 15 k + 225 = 0$ pour $k$ .

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Étape 10.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 15$ et $c = 225$ dans la formule quadratique et résolvez pour $k$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 225)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 225$ .

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Étape 10.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $225$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.3

Soustrayez $900$ de $225$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.4

Réécrivez $- 675$ comme $- 1 (675)$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (675)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$k = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.7

Réécrivez $675$ comme $15^{2} \cdot 3$ .

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Étape 10.2.3.1.7.1

Factorisez $225$ à partir de $675$ .

$k = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.7.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$k = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$k = \frac{15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.9

Déplacez $15$ à gauche de $i$ .

$k = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$k = \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}, \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(k + 15) (k^{2} - 15 k + 225) = 0$ vraie.

$k = - 15, \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}, \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}$