Algèbre Exemples

$\log (3 x - 1) > \log (4 - x)$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (3 x - 1) = \log (4 - x)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$3 x - 1 = 4 - x$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x - 1 + x = 4$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$4 x - 1 = 4$

Étape 2.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 4 + 1$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$4 x = 5$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log (\frac{3 x - 1}{4 - x})$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log (\frac{3 x - 1}{4 - x})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{3 x - 1}{4 - x} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x - 1 = 0$

$4 - x = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 3.2.5

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 3.2.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{1}{3}$

$x = 4$

Étape 3.2.7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Étape 3.2.8

Déterminez le domaine de $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ .

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Étape 3.2.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 - x = 0$

Étape 3.2.8.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 3.2.8.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.2.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.2.8.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.2.8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 3.2.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 3.2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 4$

$x > 4$

Étape 3.2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.2.10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (0) - 1}{4 - (0)} > 0$

Étape 3.2.10.1.3

Le côté gauche $- 0.25$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 3.2.10.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (2) - 1}{4 - (2)} > 0$

Étape 3.2.10.2.3

Le côté gauche $2.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 3.2.10.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (6) - 1}{4 - (6)} > 0$

Étape 3.2.10.3.3

Le côté gauche $- 8.5$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 3.2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{3} < x < 4$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 - x = 0$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(\frac{1}{3}, 4)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < x < 4$

$x > 4$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (3 (0) - 1) > \log (4 - (0))$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (3 (1) - 1) > \log (4 - (1))$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $0.30102999$ n’est pas supérieur au côté droit $0.47712125$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{4} < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{4} < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (3 (3) - 1) > \log (4 - (3))$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $0.90308998$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (3 (6) - 1) > \log (4 - (6))$

Étape 5.4.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.4.3.2

Le côté droit n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ Faux

$\frac{5}{4} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ Faux

$\frac{5}{4} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{5}{4} < x < 4$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{5}{4} < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(\frac{5}{4}, 4)$

Étape 8