Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 25} \div \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{2} + 7 x + 10}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $7$ .

$2, 5$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x - 5) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{x - 5}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 2)}{x - 5}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 2)}{x - 5}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{x - 5} \cdot \frac{x + 2}{x - 5}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{x + 3}{x - 5}$ par $\frac{x + 2}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{(x - 5) (x - 5)}$

Étape 7

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}$

Étape 8

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1 + 1}}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$