Algèbre Exemples

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{4 x - 3}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{2 x - 3}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{4 x - 3}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{4 x - 3}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{4 x - 3}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x - 3 - (2 x - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - 3 + (- (2 x) - - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 3 + (- 2 x - - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{4 x - 3 + (- 2 x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.4

Développez $(- 2 x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - 3 - 2 x (x + 3) + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - 3 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - 3 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 x^{2} - 6 x + 3 x + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.5.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 x^{2} - 6 x + 3 x + 9}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.5.2

Additionnez $- 6 x$ et $3 x$ .

$\frac{4 x - 3 - 2 x^{2} - 3 x + 9}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.6

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

$\frac{x - 3 - 2 x^{2} + 9}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.7

Additionnez $- 3$ et $9$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.9.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 6 = - 12$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.9.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.9.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 3$ plus $4$

$\frac{- 2 x^{2} + (- 3 + 4) x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 4 x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.9.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.9.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 2 x^{2} - 3 x) + 4 x + 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- 2 x - 3) - 2 (- 2 x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.9.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x - 3$ .

$\frac{(- 2 x - 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) - 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (3)) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x + 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $- (2 x + 3)$ comme $- 1 (2 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 x + 3) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$