Algèbre Exemples

$5 x^{2} + 25 x + 8 \leq 4 x + 4$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$5 x^{2} + 25 x + 8 - 4 x \leq 4$

Étape 1.2

Soustrayez $4 x$ de $25 x$ .

$5 x^{2} + 21 x + 8 \leq 4$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$5 x^{2} + 21 x + 8 = 4$

Étape 3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 21 x + 8 - 4 = 0$

Étape 4

Soustrayez $4$ de $8$ .

$5 x^{2} + 21 x + 4 = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ et dont la somme est $b = 21$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $21$ à partir de $21 x$ .

$5 x^{2} + 21 (x) + 4 = 0$

Étape 5.1.2

Réécrivez $21$ comme $1$ plus $20$

$5 x^{2} + (1 + 20) x + 4 = 0$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 1 x + 20 x + 4 = 0$

Étape 5.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 x^{2} + x + 20 x + 4 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 x^{2} + x) + 20 x + 4 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (5 x + 1) + 4 (5 x + 1) = 0$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 1$ .

$(5 x + 1) (x + 4) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 7

Définissez $5 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $5 x + 1$ égal à $0$ .

$5 x + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $5 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 1$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{5}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{5}$

Étape 8

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x + 1) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{5}, - 4$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$

$x > - \frac{1}{5}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(- 6)}^{2} + 25 (- 6) + 8 \leq 4 (- 6) + 4$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $38$ est supérieur au côté droit $- 20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - \frac{1}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - \frac{1}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(- 2)}^{2} + 25 (- 2) + 8 \leq 4 (- 2) + 4$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 22$ est inférieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{1}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{1}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(0)}^{2} + 25 (0) + 8 \leq 4 (0) + 4$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$ Vrai

$x > - \frac{1}{5}$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$ Vrai

$x > - \frac{1}{5}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq - \frac{1}{5}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 4 \leq x \leq - \frac{1}{5}$

Notation d’intervalle :

$[- 4, - \frac{1}{5}]$

Étape 14