Algèbre Exemples

$\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) = \log (6 x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) - \log (6 x) = 0$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (6) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $2 \log (6) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x})$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Simplifiez $2 \log (6)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (6^{2}) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Étape 3.1.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\log (36) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (36 \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\log (6 (6) \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$\log (6 (6) \frac{x^{2} - 2}{6 (x)}) = 0$

Étape 3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\log (6 \cdot 6 \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Étape 3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\log (6 \frac{x^{2} - 2}{x}) = 0$

Étape 3.1.4

Associez $6$ et $\frac{x^{2} - 2}{x}$ .

$\log (\frac{6 (x^{2} - 2)}{x}) = 0$

Étape 4

Réécrivez $\log (\frac{6 (x^{2} - 2)}{x}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{6 (x^{2} - 2)}{x}$

Étape 5

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$6 (x^{2} - 2) = 10^{0} (x)$

Étape 6

Simplifiez $10^{0} (x)$ .

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Étape 6.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$6 (x^{2} - 2) = 1 x$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$6 (x^{2} - 2) = x$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$6 (x^{2} - 2) - x = 0$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 6 \cdot - 2 - x = 0$

Étape 7.2.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$6 x^{2} - 12 - x = 0$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{2} - x - 12 = 0$

Étape 8.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 12 = - 72$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 12 = 0$

Étape 8.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $8$ plus $- 9$

$6 x^{2} + (8 - 9) x - 12 = 0$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 = 0$

Étape 8.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 x^{2} + 8 x) - 9 x - 12 = 0$

Étape 8.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4) = 0$

Étape 8.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$

Étape 9

Simplifiez $(3 x + 4) (2 x - 3)$ .

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Étape 9.1

Développez $(3 x + 4) (2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3) = 0$

Étape 9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x - 3) = 0$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Étape 9.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Étape 9.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$6 x^{2} - 9 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Étape 9.2.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$6 x^{2} - 9 x + 8 x + 4 \cdot - 3 = 0$

Étape 9.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$6 x^{2} - 9 x + 8 x - 12 = 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 9 x$ et $8 x$ .

$6 x^{2} - x - 12 = 0$

Étape 10

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 12 = - 72$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 12 = 0$

Étape 10.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $8$ plus $- 9$

$6 x^{2} + (8 - 9) x - 12 = 0$

Étape 10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 = 0$

Étape 10.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 x^{2} + 8 x) - 9 x - 12 = 0$

Étape 10.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4) = 0$

Étape 10.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 12

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 12.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 13

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$

Étape 15

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) = \log (6 x)$ vrai.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$x = 1.5$

Forme de nombre mixte :

$x = 1 \frac{1}{2}$