Algèbre Exemples

$f (x) = x \cdot 2^{x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $x \cdot 2^{x}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} x \cdot 2^{x}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Réécrivez $x \cdot 2^{x}$ comme $\frac{x}{2^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2^{- x}}$

Étape 3.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} 2^{- x}}$

Étape 3.2.1.2

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} 2^{- x}}$

Étape 3.2.1.3

Comme l’exposant $- x$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{- x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{- x}]}$

Étape 3.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{- x}]}$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{- x}]}$

Étape 3.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2) (- \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2) (- 1 \cdot 1)}$

Étape 3.2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2) \cdot - 1}$

Étape 3.2.3.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $2^{- x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot (2^{- x} \ln (2))}$

Étape 3.2.3.8

Réécrivez $- 1 \cdot 2^{- x}$ comme $- 2^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 2^{- x} \ln (2)}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- 2^{- x} \ln (2)}$

Étape 3.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{2^{- x} \ln (2)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2)}$

Étape 3.3.2

Placez le terme $\frac{1}{\ln (2)}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x}}$

Étape 3.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{2^{- x}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Étape 3.5

Multipliez $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 \frac{1}{\ln (2)}$

Étape 3.5.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 7