Algèbre Exemples

$x y (3 x + 2 y) = 4$

Étape 1

Simplifiez $x y (3 x + 2 y)$ .

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Étape 1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y (3 x) + x y (2 y) = 4$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x y x + x y (2 y) = 4$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x y x + 2 x y \cdot y = 4$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) y + 2 x y \cdot y = 4$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} y + 2 x y \cdot y = 4$

Étape 1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1

Déplacez $y$ .

$3 x^{2} y + 2 x (y \cdot y) = 4$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 x^{2} y + 2 x y^{2} = 4$

Étape 2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y + 2 x y^{2} - 4 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 3 y$ , $b = 2 y^{2}$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{{(2 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 y \cdot - 4)}}{2 (3 y)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{{(2 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (y \cdot - 4))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.2

Laissez $u = 3 (y \cdot - 4)$ . Remplacez toutes les occurrences de $3 (y \cdot - 4)$ par $u$ .

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Étape 5.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{4} - 4 u$ .

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Étape 5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{4}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{4}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 (y \cdot - 4)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (y \cdot - 4)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.5.1

Déplacez $- 4$ à gauche de $y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (- 4 \cdot y)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (- 12 y))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.5.3

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.6

Factorisez $y$ à partir de $y^{4} + 12 y$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{4}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $y$ à partir de $12 y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + y \cdot 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{3} + y \cdot 12$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 y (y^{3} + 12)$ comme $2^{2} (y (y^{3} + 12))$ .

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$ .

$x = \frac{- y^{2} \pm \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{{(2 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (y \cdot - 4))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.2

Laissez $u = 3 (y \cdot - 4)$ . Remplacez toutes les occurrences de $3 (y \cdot - 4)$ par $u$ .

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Étape 6.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{4} - 4 u$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{4}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{4}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 (y \cdot - 4)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (y \cdot - 4)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.5.1

Déplacez $- 4$ à gauche de $y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (- 4 \cdot y)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (- 12 y))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.5.3

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.6

Factorisez $y$ à partir de $y^{4} + 12 y$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{4}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.6.2

Factorisez $y$ à partir de $12 y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + y \cdot 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.6.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{3} + y \cdot 12$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $4 y (y^{3} + 12)$ comme $2^{2} (y (y^{3} + 12))$ .

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Étape 6.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$ .

$x = \frac{- y^{2} \pm \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$x = \frac{- (y^{2}) + \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{y (y^{3} + 12)}$ .

$x = \frac{- (y^{2}) - 1 (- \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - 1 (- \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ .

$x = \frac{- (y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Étape 6.8

Réécrivez $- (y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ comme $- 1 (y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ .

$x = \frac{- 1 (y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Étape 6.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{{(2 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (y \cdot - 4))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.2

Laissez $u = 3 (y \cdot - 4)$ . Remplacez toutes les occurrences de $3 (y \cdot - 4)$ par $u$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 7.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{4} - 4 u$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{4}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{4}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 (y \cdot - 4)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (y \cdot - 4)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.5.1

Déplacez $- 4$ à gauche de $y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (- 4 \cdot y)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (- 12 y))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.5.3

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.6

Factorisez $y$ à partir de $y^{4} + 12 y$ .

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{4}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.6.2

Factorisez $y$ à partir de $12 y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + y \cdot 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.6.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{3} + y \cdot 12$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $4 y (y^{3} + 12)$ comme $2^{2} (y (y^{3} + 12))$ .

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Étape 7.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$ .

$x = \frac{- y^{2} \pm \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$x = \frac{- (y^{2}) - \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{y (y^{3} + 12)}$ .

$x = \frac{- (y^{2}) - (\sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - (\sqrt{y (y^{3} + 12)})$ .

$x = \frac{- (y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Étape 7.8

Réécrivez $- (y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ comme $- 1 (y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ .

$x = \frac{- 1 (y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Étape 7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

$x = - \frac{y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$