Algèbre Exemples

$h = \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t$ ; for $t$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot (g t^{2}) + v t = h$ .

$\frac{1}{2} \cdot (g t^{2}) + v t = h$

Étape 2

Multipliez $\frac{1}{2} (g t^{2})$ .

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Étape 2.1

Associez $g$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{g}{2} t^{2} + v t = h$

Étape 2.2

Associez $\frac{g}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{g t^{2}}{2} + v t = h$

Étape 3

Soustrayez $h$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{g t^{2}}{2} + v t - h = 0$

Étape 4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{g t^{2}}{2}) + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{g t^{2}}{2}) + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$g t^{2} + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$g t^{2} + 2 v t - 2 h = 0$

Étape 4.3

Déplacez $v$ .

$g t^{2} + 2 t v - 2 h = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = g$ , $b = 2 v$ et $c = - 2 h$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{- 2 v \pm \sqrt{{(2 v)}^{2} - 4 \cdot (g \cdot (- 2 h))}}{2 g}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{{(2 v)}^{2} - 4 \cdot (g \cdot (- 2 h))}}{2 g}$

Étape 7.1.2

Laissez $u = g \cdot (- 2 h)$ . Remplacez toutes les occurrences de $g \cdot (- 2 h)$ par $u$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 v$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{2^{2} v^{2} - 4 \cdot u}}{2 g}$

Étape 7.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 v^{2} - 4 u}}{2 g}$

Étape 7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 v^{2} - 4 u$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 v^{2}$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2}) - 4 u}}{2 g}$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2}) + 4 (- u)}}{2 g}$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (v^{2}) + 4 (- u)$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - u)}}{2 g}$

Étape 7.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $g \cdot (- 2 h)$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - (g \cdot (- 2 h)))}}{2 g}$

Étape 7.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - (- 2 g h))}}{2 g}$

Étape 7.1.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} + 2 g h)}}{2 g}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{2^{2} (v^{2} + 2 g h)}}{2 g}$

Étape 7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{- 2 v \pm 2 \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{2 g}$

Étape 7.2

Simplifiez $\frac{- 2 v \pm 2 \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{2 g}$ .

$t = \frac{- v \pm \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = - \frac{v - \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$

$t = - \frac{v + \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$