Algèbre Exemples

$\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} = \frac{7}{3 x - 10}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{7}{3 x - 10}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} - \frac{7}{3 x - 10} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} - \frac{7}{3 x - 10}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{8}{(x - 7) (x + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 10}{3 x - 10}$ .

$\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{3 x - 10}{3 x - 10} - \frac{7}{3 x - 10} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{7}{3 x - 10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - 7) (x + 3)}{(x - 7) (x + 3)}$ .

$\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{3 x - 10}{3 x - 10} - \frac{7}{3 x - 10} \cdot \frac{(x - 7) (x + 3)}{(x - 7) (x + 3)} = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 7) (x + 3) (3 x - 10)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{8}{(x - 7) (x + 3)}$ par $\frac{3 x - 10}{3 x - 10}$ .

$\frac{8 (3 x - 10)}{(x - 7) (x + 3) (3 x - 10)} - \frac{7}{3 x - 10} \cdot \frac{(x - 7) (x + 3)}{(x - 7) (x + 3)} = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{7}{3 x - 10}$ par $\frac{(x - 7) (x + 3)}{(x - 7) (x + 3)}$ .

$\frac{8 (3 x - 10)}{(x - 7) (x + 3) (3 x - 10)} - \frac{7 ((x - 7) (x + 3))}{(3 x - 10) ((x - 7) (x + 3))} = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 7) (x + 3) (3 x - 10)$ .

$\frac{8 (3 x - 10)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} - \frac{7 ((x - 7) (x + 3))}{(3 x - 10) ((x - 7) (x + 3))} = 0$

Étape 2.3.4

Réorganisez les facteurs de $(3 x - 10) ((x - 7) (x + 3))$ .

$\frac{8 (3 x - 10)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} - \frac{7 ((x - 7) (x + 3))}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 (3 x - 10) - 7 ((x - 7) (x + 3))}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (3 x) + 8 \cdot - 10 - 7 (x - 7) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24 x + 8 \cdot - 10 - 7 (x - 7) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $8$ par $- 10$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 (x - 7) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x - 80 + (- 7 x - 7 \cdot - 7) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$\frac{24 x - 80 + (- 7 x + 49) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.6

Développez $(- 7 x + 49) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x - 80 - 7 x (x + 3) + 49 (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x - 80 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 3 + 49 (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x - 80 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 3 + 49 x + 49 \cdot 3}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot 3 + 49 x + 49 \cdot 3}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 x^{2} - 7 x \cdot 3 + 49 x + 49 \cdot 3}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.7.1.2

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 x^{2} - 21 x + 49 x + 49 \cdot 3}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.7.1.3

Multipliez $49$ par $3$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 x^{2} - 21 x + 49 x + 147}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.7.2

Additionnez $- 21 x$ et $49 x$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 x^{2} + 28 x + 147}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.8

Additionnez $24 x$ et $28 x$ .

$\frac{52 x - 80 - 7 x^{2} + 147}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.9

Additionnez $- 80$ et $147$ .

$\frac{52 x - 7 x^{2} + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.5.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 7 x^{2} + 52 x + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{- (7 x^{2}) + 52 x + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $52 x$ .

$\frac{- (7 x^{2}) - (- 52 x) + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x^{2}) - (- 52 x)$ .

$\frac{- (7 x^{2} - 52 x) + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.9

Réécrivez $67$ comme $- 1 (- 67)$ .

$\frac{- (7 x^{2} - 52 x) - 1 (- 67)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x^{2} - 52 x) - 1 (- 67)$ .

$\frac{- (7 x^{2} - 52 x - 67)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- (7 x^{2} - 52 x - 67)$ comme $- 1 (7 x^{2} - 52 x - 67)$ .

$\frac{- 1 (7 x^{2} - 52 x - 67)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 x^{2} - 52 x - 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{7 x^{2} - 52 x - 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(3 x - 10) (x + 3) (x - 7) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 10 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 4.2

Définissez $3 x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $3 x - 10$ égal à $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $3 x - 10 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 10$

Étape 4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Étape 4.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.4

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 10) (x + 3) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = \frac{10}{3}, - 3, 7$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 3, x = \frac{10}{3}, x = 7$

Étape 6