Algèbre Exemples

$8 x + 3 y + y^{2} = - 263 - x^{2}$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Ajoutez $263$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x + 3 y + y^{2} + 263 = - x^{2}$

Étape 1.1.2

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x + 3 y + y^{2} + 263 + x^{2} = 0$

Étape 1.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 8 x + 263 + x^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (8 x + 263 + x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 (8 x) - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $263$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 1052 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5

Soustrayez $1052$ de $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 32 x - 1043 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 (8 x) - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez

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Étape 1.5.1.4.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $263$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 1052 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5

Soustrayez $1052$ de $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 32 x - 1043 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Étape 1.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$ .

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Étape 1.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 (8 x) - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4

Simplifiez

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Étape 1.6.1.4.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $263$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 1052 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5

Soustrayez $1052$ de $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 32 x - 1043 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$ .

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Étape 1.6.4.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.6.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Étape 1.6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$ .

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Étape 1.6.4.4

Réécrivez $- 1 (3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$ comme $- (3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$ .

$y = \frac{- (3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Étape 1.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 1.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$ en deux fractions.

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{- \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2})$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2})$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$ en deux fractions.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2})$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$

$y = - \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$

Étape 9

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$

$y = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$

Étape 10