Algèbre Exemples

$\frac{6 - x}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \div \frac{x + 10}{x + 5}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{6 - x}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 6, 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 10^{2}}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 200$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2}) - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 200$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 x^{2} + 2 \cdot - 100} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 100$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2} - 100)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2} - 10^{2})} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun à $6 - x$ et $x - 6$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- 1 (- 6) - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- 1 (- 6) - (x)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 6 + x)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x - 6)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - 6)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x + 10$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{x - 10}{2 (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x - 10$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{x - 10}{2 (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{1}{2} \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x + 5}$ .

$- \frac{1}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 (x + 5)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.6.2

Factorisez $x + 5$ à partir de $2 (x + 5)$ .

$\frac{- 1}{(x + 5) \cdot 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{(x + 5) \cdot 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x + 10}$

Étape 5.7

Multipliez $\frac{- 1}{2}$ par $\frac{1}{x + 10}$ .

$\frac{- 1}{2 (x + 10)}$

Étape 5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 (x + 10)}$