Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ par $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ par $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} - \sqrt{x} - 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x^{1} - 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x - 1}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $\sqrt{x} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{1} (\sqrt{x} + 1)}{x - 1}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{x} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{1} {(\sqrt{x} + 1)}^{1}}{x - 1}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{1 + 1}}{x - 1}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}{x - 1}$

Étape 6

Réécrivez ${(\sqrt{x} + 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x - 1}$

Étape 7

Développez $(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) + 1 (\sqrt{x} + 1)}{x - 1}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{x} + 1)}{x - 1}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 8.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 8.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.2.5

Simplifiez

$\frac{x + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.3

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$\frac{x + \sqrt{x} + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.4

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$\frac{x + \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 \cdot 1}{x - 1}$

Étape 8.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x + \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1}{x - 1}$

Étape 8.2

Additionnez $\sqrt{x}$ et $\sqrt{x}$ .

$\frac{x + 2 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{x + 2 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ en deux fractions.

$\frac{x + 2 \sqrt{x}}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 10

Divisez la fraction $\frac{x + 2 \sqrt{x}}{x - 1}$ en deux fractions.

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$