Algèbre Exemples

$4 x^{2} - 3 x - 11 \geq - 3 x - 10$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x^{2} - 3 x - 11 + 3 x \geq - 10$

Étape 1.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{2} - 3 x - 11 + 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$4 x^{2} + 0 - 11 \geq - 10$

Étape 1.2.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $0$ .

$4 x^{2} - 11 \geq - 10$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x^{2} \geq - 10 + 11$

Étape 2.2

Additionnez $- 10$ et $11$ .

$4 x^{2} \geq 1$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} \geq 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} \geq 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{1}{4}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{1}{4}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \geq \frac{1}{4}$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$| x | \geq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | \geq \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \geq \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.2.1.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \frac{1}{| 2 |}$

Étape 5.2.1.3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \geq \frac{1}{2}$

Étape 6

Écrivez $| x | \geq \frac{1}{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq \frac{1}{2}$

Étape 6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq \frac{1}{2}$

Étape 6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} & x \geq 0 \\ - x \geq \frac{1}{2} & x < 0 \end{cases}$

Étape 7

Déterminez l’intersection de $x \geq \frac{1}{2}$ et $x \geq 0$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $- x \geq \frac{1}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq \frac{1}{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 8.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{2}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{2}$ comme $- \frac{1}{2}$ .

$x \leq - \frac{1}{2}$

Étape 9

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - \frac{1}{2}$ ou $x \geq \frac{1}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - \frac{1}{2} or x \geq \frac{1}{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 11