Algèbre Exemples

$(\frac{1}{3} x - \frac{5}{6} y) (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{5} y)$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{5}{6} y) (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{5} y)$

Étape 1.1.2

Associez $y$ et $\frac{5}{6}$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{y \cdot 5}{6}) (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{5} y)$

Étape 1.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{5 y}{6}) (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{5} y)$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{5 y}{6}) (- \frac{x}{2} + \frac{3}{5} y)$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{3}{5}$ et $y$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{5 y}{6}) (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5})$

Étape 2

Développez $(\frac{x}{3} - \frac{5 y}{6}) (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{3} (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5}) - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{3} (- \frac{x}{2}) + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{3} (- \frac{x}{2}) + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{x \cdot x}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{1} x}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.2.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 (y)}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2}}{6} + x \frac{y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.4

Associez $x$ et $\frac{y}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2})$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + 1 \frac{5 y}{6} \frac{x}{2} - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\frac{5 y}{6}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y}{6} \cdot \frac{x}{2} - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.5.3

Multipliez $\frac{5 y}{6}$ par $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{6 \cdot 2} - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.5.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 y}{6}$ dans le numérateur.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- 5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 y$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{5 (- y)}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{5 (- y)}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Étape 3.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{6} (3 y)$

Étape 3.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{3 (2)} (3 y)$

Étape 3.1.7.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{3 (2)} (3 (y))$

Étape 3.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{3 \cdot 2} (3 y)$

Étape 3.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{2} y$

Étape 3.1.8

Associez $\frac{- y}{2}$ et $y$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y \cdot y}{2}$

Étape 3.1.9

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- (y^{1} y)}{2}$

Étape 3.1.10

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- (y^{1} y^{1})}{2}$

Étape 3.1.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y^{1 + 1}}{2}$

Étape 3.1.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y^{2}}{2}$

Étape 3.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.2

Additionnez $\frac{x y}{5}$ et $\frac{5 y x}{12}$ .

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Étape 3.2.1

Déplacez $y$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 x y}{12} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $\frac{x y}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 x y}{12} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $\frac{5 x y}{12}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 x y}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $60$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{x y}{5}$ par $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12}{5 \cdot 12} + \frac{5 x y}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $5$ par $12$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12}{60} + \frac{5 x y}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $\frac{5 x y}{12}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12}{60} + \frac{5 x y \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.2.4.4

Multipliez $12$ par $5$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12}{60} + \frac{5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{x^{2}}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} \cdot \frac{10}{10} + \frac{x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $60$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{6}$ par $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 10}{6 \cdot 10} + \frac{x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.4.2

Multipliez $6$ par $10$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 10}{60} + \frac{x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3.6

Pour écrire $- \frac{y^{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{30}{30}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{30}{30}$

Étape 3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $60$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{y^{2}}{2}$ par $\frac{30}{30}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2} \cdot 30}{2 \cdot 30}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $30$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2} \cdot 30}{60}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5 - y^{2} \cdot 30}{60}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 x^{2} + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5 - y^{2} \cdot 30}{60}$

Étape 4.2

Déplacez $12$ à gauche de $x y$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 12 \cdot (x y) + 5 x y \cdot 5 - y^{2} \cdot 30}{60}$

Étape 4.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 12 x y + 25 x y - y^{2} \cdot 30}{60}$

Étape 4.4

Multipliez $30$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 12 x y + 25 x y - 30 y^{2}}{60}$

Étape 4.5

Additionnez $12 x y$ et $25 x y$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 37 x y - 30 y^{2}}{60}$

Étape 4.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 10 \cdot - 30 = 300$ et dont la somme est $b = 37$ .

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Étape 4.6.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 10 x^{2} - 30 y^{2} + 37 x y}{60}$

Étape 4.6.1.2

Remettez dans l’ordre $- 30 y^{2}$ et $37 x y$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 37 x y - 30 y^{2}}{60}$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $37$ à partir de $37 x y$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 37 (x y) - 30 y^{2}}{60}$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez $37$ comme $12$ plus $25$

$\frac{- 10 x^{2} + (12 + 25) (x y) - 30 y^{2}}{60}$

Étape 4.6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 x^{2} + 12 (x y) + 25 (x y) - 30 y^{2}}{60}$

Étape 4.6.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{- 10 x^{2} + 12 x y + 25 x y - 30 y^{2}}{60}$

Étape 4.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 10 x^{2} + 12 x y) + 25 x y - 30 y^{2}}{60}$

Étape 4.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (- 5 x + 6 y) - 5 y (- 5 x + 6 y)}{60}$

Étape 4.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 5 x + 6 y$ .

$\frac{(- 5 x + 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{(- (5 x) + 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $6 y$ .

$\frac{(- (5 x) - (- 6 y)) (2 x - 5 y)}{60}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x) - (- 6 y)$ .

$\frac{- (5 x - 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $- (5 x - 6 y)$ comme $- 1 (5 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$

Étape 5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(5 x - 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$