Algèbre Exemples

${(\frac{2}{3})}^{r - 8} = \frac{7}{4}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{r - 8}) = \ln (\frac{7}{4})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{2}{3})}^{r - 8})$ en déplaçant $r - 8$ hors du logarithme.

$(r - 8) \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{7}{4})$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{2}{3})$ comme $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(r - 8) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln (\frac{7}{4})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(r - 8) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(r - 8) \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{7}{4})$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$r \ln (\frac{2}{3}) - 8 \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{7}{4})$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$r \ln (\frac{2}{3}) - 8 \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{7}{4}) = 0$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $r$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $8 \ln (\frac{2}{3})$ aux deux côtés de l’équation.

$r \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{7}{4}) = 8 \ln (\frac{2}{3})$

Étape 5.2

Ajoutez $\ln (\frac{7}{4})$ aux deux côtés de l’équation.

$r \ln (\frac{2}{3}) = 8 \ln (\frac{2}{3}) + \ln (\frac{7}{4})$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $r \ln (\frac{2}{3}) = 8 \ln (\frac{2}{3}) + \ln (\frac{7}{4})$ par $\ln (\frac{2}{3})$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $r \ln (\frac{2}{3}) = 8 \ln (\frac{2}{3}) + \ln (\frac{7}{4})$ par $\ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{r \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{8 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{8 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{8 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{8 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 6.3.1.2

Divisez $8$ par $1$ .

$r = 8 + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$r = 8 + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Forme décimale :

$r = 6.61981764 \dots$