Algèbre Exemples

$4^{a^{2}} = 16^{2 a} \cdot 64^{2 - a}$

Étape 1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$4^{a^{2}} = {(2^{4})}^{2 a} \cdot 64^{2 - a}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(2^{4})}^{2 a}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{a^{2}} = 2^{4 (2 a)} \cdot 64^{2 - a}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 64^{2 - a}$

Étape 3

Réécrivez $64$ comme $2^{6}$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot {(2^{6})}^{2 - a}$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(2^{6})}^{2 - a}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 2^{6 (2 - a)}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 2^{6 \cdot 2 + 6 (- a)}$

Étape 4.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 2^{12 + 6 (- a)}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$4^{a^{2}} = 2^{8 a} \cdot 2^{12 - 6 a}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4^{a^{2}} = 2^{8 a + 12 - 6 a}$

Étape 6

Soustrayez $6 a$ de $8 a$ .

$4^{a^{2}} = 2^{2 a + 12}$

Étape 7

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{2 a^{2}} = 2^{2 a + 12}$

Étape 8

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 a^{2} = 2 a + 12$

Étape 9

Résolvez $a$ .

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Étape 9.1

Soustrayez $2 a$ des deux côtés de l’équation.

$2 a^{2} - 2 a = 12$

Étape 9.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$2 a^{2} - 2 a - 12 = 0$

Étape 9.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2} - 2 a - 12$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2}$ .

$2 (a^{2}) - 2 a - 12 = 0$

Étape 9.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 a$ .

$2 (a^{2}) + 2 (- a) - 12 = 0$

Étape 9.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$2 (a^{2}) + 2 (- a) + 2 (- 6) = 0$

Étape 9.3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (a^{2}) + 2 (- a)$ .

$2 (a^{2} - a) + 2 (- 6) = 0$

Étape 9.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (a^{2} - a) + 2 (- 6)$ .

$2 (a^{2} - a - 6) = 0$

Étape 9.3.2

Factorisez.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $a^{2} - a - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 9.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((a - 3) (a + 2)) = 0$

Étape 9.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (a - 3) (a + 2) = 0$

Étape 9.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a - 3 = 0$

$a + 2 = 0$

Étape 9.5

Définissez $a - 3$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 9.5.1

Définissez $a - 3$ égal à $0$ .

$a - 3 = 0$

Étape 9.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 3$

Étape 9.6

Définissez $a + 2$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 9.6.1

Définissez $a + 2$ égal à $0$ .

$a + 2 = 0$

Étape 9.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$a = - 2$

Étape 9.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (a - 3) (a + 2) = 0$ vraie.

$a = 3, - 2$