Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x - 8} \cdot \frac{8 x + 32}{x^{4} + x^{3}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{2} + 2 x - 8} \cdot \frac{8 x + 32}{x^{4} + x^{3}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 2 x - 8} \cdot \frac{8 x + 32}{x^{4} + x^{3}}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{8 x + 32}{x^{4} + x^{3}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 32$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{8 (x) + 32}{x^{4} + x^{3}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{8 x + 8 \cdot 4}{x^{4} + x^{3}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot 4$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{8 (x + 4)}{x^{4} + x^{3}}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} + x^{3}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{8 (x + 4)}{x^{3} x + x^{3}}$

Étape 3.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{8 (x + 4)}{x^{3} x + x^{3} \cdot 1}$

Étape 3.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x + x^{3} \cdot 1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{8 (x + 4)}{x^{3} (x + 1)}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{(x + 2) (x - 2) (8 (x + 4))}{(x - 2) (x + 4) (x^{3} (x + 1))}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x - 2) (8 (x + 4))}{(x - 2) (x + 4) (x^{3} (x + 1))}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 2) (8 (x + 4))}{(x + 4) (x^{3} (x + 1))}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (8 (x + 4))}{(x + 4) (x^{3} (x + 1))}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 2) \cdot (8)}{x^{3} (x + 1)}$

Étape 3.6

Déplacez $8$ à gauche de $x + 2$ .

$\frac{8 (x + 2)}{x^{3} (x + 1)}$