Algèbre Exemples

${(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5} = {(\frac{1}{32})}^{4}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5})$ comme $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7}) + \ln (64^{x + 5})$ .

$\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7}) + \ln (64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7})$ en déplaçant $x + 7$ hors du logarithme.

$(x + 7) \ln (\frac{1}{16}) + \ln (64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2.3

Développez $\ln (64^{x + 5})$ en déplaçant $x + 5$ hors du logarithme.

$(x + 7) \ln (\frac{1}{16}) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2.4

Réécrivez $\ln (\frac{1}{16})$ comme $\ln (1) - \ln (16)$ .

$(x + 7) (\ln (1) - \ln (16)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(x + 7) (0 - \ln (16)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2.6

Réécrivez $\ln (16)$ comme $\ln (2^{4})$ .

$(x + 7) (0 - \ln (2^{4})) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2.7

Développez $\ln (2^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$(x + 7) (0 - (4 \ln (2))) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(x + 7) (0 - 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 2.9

Soustrayez $4 \ln (2)$ de $0$ .

$(x + 7) (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(x + 7) (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- 4 \ln (2)) + 7 (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 3.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64)$ .

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$ .

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{32}$ .

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1^{4}}{32^{4}})$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{32^{4}})$

Étape 4.1.3

Élevez $32$ à la puissance $4$ .

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{1048576})$

Étape 5

Déplacez $- 28 \ln (2)$ .

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - 28 \ln (2) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{1048576})$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - 28 \ln (2) + 5 \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 0$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $28 \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 28 \ln (2)$

Étape 7.2

Soustrayez $5 \ln (64)$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64)$

Étape 7.3

Ajoutez $\ln (\frac{1}{1048576})$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Étape 8

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (2) + x \ln (64)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (2)$ .

$x (- 4 \ln (2)) + x \ln (64) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Étape 8.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (64)$ .

$x (- 4 \ln (2)) + x (\ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 4 \ln (2)) + x (\ln (64))$ .

$x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$ par $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$ par $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ .

$\frac{x (- 4 \ln (2) + \ln (64))}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{- 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{- 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} - \frac{5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Étape 9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Étape 9.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Étape 9.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2)) + \ln (64)}$

Étape 9.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (64)$ .

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2)) - 1 (- \ln (64))}$

Étape 9.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 \ln (2)) - 1 (- \ln (64))$ .

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2) - \ln (64))}$

Étape 9.3.7

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 9.3.7.1

Réécrivez $- (4 \ln (2) - \ln (64))$ comme $- 1 (4 \ln (2) - \ln (64))$ .

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- 1 (4 \ln (2) - \ln (64))}$

Étape 9.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{4 \ln (2) - \ln (64)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{4 \ln (2) - \ln (64)}$

Forme décimale :

$x = - 11$