Algèbre Exemples

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$

Étape 1

Remplacez $<$ par $=$ dans $| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$ .

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | = 5 | x - 1 |$

Étape 2

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Étape 3

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Étape 4

Résolvez $(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$ pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.3

Développez $(- 2 x + 9) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.4.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = 5 (x - 1)$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $2 x$ et $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 (x - 1)$

Étape 4.2

Simplifiez $5 (x - 1)$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x - 5$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 - 5 x = - 5$

Étape 4.3.2

Soustrayez $5 x$ de $11 x$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 = - 5$

Étape 4.4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 + 5 = 0$

Étape 4.5

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Étape 4.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.6.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Étape 4.6.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Étape 4.6.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Étape 4.6.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Étape 4.6.2

Factorisez.

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Étape 4.6.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 4.6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Étape 4.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 4.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4.8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.9

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.9.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$

Étape 5

Résolvez $(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.3

Développez $(- 2 x + 9) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.4.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2 x$ et $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Étape 5.2

Simplifiez $- 5 (x - 1)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x - 5 \cdot - 1$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x + 5$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 + 5 x = 5$

Étape 5.3.2

Additionnez $11 x$ et $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 = 5$

Étape 5.4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 - 5 = 0$

Étape 5.5

Soustrayez $5$ de $- 9$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Étape 5.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.6.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} + 16 x - 14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Étape 5.6.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $16 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 14 = 0$

Étape 5.6.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 14$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Étape 5.6.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 8 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Étape 5.6.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 (7)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Étape 5.6.2

Factorisez.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $x^{2} - 8 x + 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $7$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 7, - 1$

Étape 5.6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Étape 5.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$

Étape 5.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.8

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 5.8.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 5.9

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 7, 1$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2, 1, 7, 1$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$| (- 2 \cdot 0 + 9) ((0) - 1) | < 5 | (0) - 1 |$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $9$ n’est pas inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$| (- 2 \cdot 1.5 + 9) ((1.5) - 1) | < 5 | (1.5) - 1 |$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $3$ n’est pas inférieur au côté droit $2.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$| (- 2 \cdot 4 + 9) ((4) - 1) | < 5 | (4) - 1 |$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $3$ est inférieur au côté droit $15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 8.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$| (- 2 \cdot 10 + 9) ((10) - 1) | < 5 | (10) - 1 |$

Étape 8.4.3

Le côté gauche $99$ n’est pas inférieur au côté droit $45$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Faux

$2 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Faux

$2 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 7$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 < x < 7$

Notation d’intervalle :

$(2, 7)$

Étape 11