Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 3 x - 28}{x^{2} + 4 x + 4} \div \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 5 x - 14}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 3 x - 28}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 28$ et dont la somme est $3$ .

$- 4, 7$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 5 x - 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 7, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{x^{2} - 49}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{x^{2} - 7^{2}}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{(x + 7) (x - 7)}$

Étape 6

Associez.

$\frac{(x - 4) (x + 7) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x + 7) (x - 7))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (x + 7) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x + 7) (x - 7))}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 4) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 7)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 7)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 9.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x + 2)}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x + 2)}$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{x + 2}$