Algèbre Exemples

$\frac{- 1}{(x + 3) (x - 4)} = \frac{1}{2 x + 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{2 x + 1}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{- 1}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{2 x + 1} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{- 1}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{2 x + 1}$ .

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{2 x + 1} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{(x + 3) (x - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 3) (x - 4)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{1}{2 x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 3) (x - 4)}{(x + 3) (x - 4)}$ .

$- \frac{1}{(x + 3) (x - 4)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{(x + 3) (x - 4)}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 4) (2 x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{(x + 3) (x - 4)}$ par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 4) (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{(x + 3) (x - 4)}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{2 x + 1}$ par $\frac{(x + 3) (x - 4)}{(x + 3) (x - 4)}$ .

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 4) (2 x + 1)} - \frac{(x + 3) (x - 4)}{(2 x + 1) ((x + 3) (x - 4))} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (x - 4) (2 x + 1)$ .

$- \frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} - \frac{(x + 3) (x - 4)}{(2 x + 1) ((x + 3) (x - 4))} = 0$

Étape 2.4.4

Réorganisez les facteurs de $(2 x + 1) ((x + 3) (x - 4))$ .

$- \frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} - \frac{(x + 3) (x - 4)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (2 x + 1) - (x + 3) (x - 4)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x + 1) - (x + 3) (x - 4)$ .

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Étape 2.6.1.1

Remettez dans l’ordre $- (2 x + 1)$ et $- (x + 3) (x - 4)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 4) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + 3) (x - 4)$ .

$\frac{- ((x + 3) (x - 4)) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- ((x + 3) (x - 4)) - (2 x + 1)$ .

$\frac{- ((x + 3) (x - 4) + 2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.2

Développez $(x + 3) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (x (x - 4) + 3 (x - 4) + 2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4) + 2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4 + 2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- (x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4 + 2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{- (x^{2} - 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 4 + 2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{- (x^{2} - 4 x + 3 x - 12 + 2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.3.2

Additionnez $- 4 x$ et $3 x$ .

$\frac{- (x^{2} - x - 12 + 2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.4

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{- (x^{2} + x - 12 + 1)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.5

Additionnez $- 12$ et $1$ .

$\frac{- (x^{2} + x - 11)}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + x - 11}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + x - 11}{(2 x + 1) (x + 3) (x - 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(2 x + 1) (x + 3) (x - 4) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 4.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x + 3) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 4$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 3, x = - \frac{1}{2}, x = 4$

Étape 6