Algèbre Exemples

$f (x) = x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} = 0$ .

$x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 7 x^{4}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 7 x^{2}) + x^{3} - 7 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 7 x^{2}) + x^{2} x - 7 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 7 x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 7 x^{2}) + x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{3} + x^{2} (- 7 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{3} - 7 x^{2}) + x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 = 0$

Étape 1.2.2.1.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{3} - 7 x^{2}) + x^{2} x$ .

$x^{2} (x^{3} - 7 x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 7 = 0$

Étape 1.2.2.1.7

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{3} - 7 x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 7$ .

$x^{2} (x^{3} - 7 x^{2} + x - 7) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{2} ((x^{3} - 7 x^{2}) + x - 7) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x^{2} (x - 7) + 1 (x - 7)) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 7$ .

$x^{2} ((x - 7) (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 7) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 1.2.6

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 1.2.6.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 1.2.6.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 1.2.6.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 1.2.6.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x - 7) (x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 7, i, - i$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (7, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{5} - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5} - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5} - 7 \cdot 0^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5} - 7 \cdot 0^{4} + 0^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5} - 7 \cdot 0^{4} + 0^{3} - 7 \cdot 0^{2}$

Étape 2.2.5

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{5} - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.6

Simplifiez ${(0)}^{5} - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$ .

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.6.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 7 \cdot 0 + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.6.1.3

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.6.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 7 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.6.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 7 \cdot 0$

Étape 2.2.6.1.6

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.6.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.6.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.6.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (7, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4