Algèbre Exemples

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x + 2 \sqrt{x - 1} = y$ .

$x + 2 \sqrt{x - 1} = y$

Étape 2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x - 1} = y - x$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 1)}^{1} = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez

$4 (x - 1) = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x - 4 = {(y - x)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(y - x)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(y - x)}^{2}$ comme $(y - x) (y - x)$ .

$4 x - 4 = (y - x) (y - x)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(y - x) (y - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 4 = y (y - x) - x (y - x)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x (y - x)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x y - x (- x)$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} + y (- x) - x y - x (- x)$

Étape 4.3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - x (- x)$

Étape 4.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 4.3.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 4.3.1.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + 1 x^{2}$

Étape 4.3.1.3.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + x^{2}$

Étape 4.3.1.3.2

Soustrayez $x y$ de $- y x$ .

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Étape 4.3.1.3.2.1

Déplacez $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - x y - x y + x^{2}$

Étape 4.3.1.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - 2 x y + x^{2}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} = 4 x - 4$

Étape 5.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x = - 4$

Étape 5.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 y - 4$ et $c = y^{2} + 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 4) \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- (- 2 y) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5

Laissez $u = 1 \cdot (y^{2} + 4)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (y^{2} + 4)$ par $u$ .

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Étape 5.6.1.5.1

Réécrivez ${(- 2 y - 4)}^{2}$ comme $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{(- 2 y - 4) (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.2

Développez $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 4) - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.6.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1.5.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5.3.2

Additionnez $8 y$ et $8 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u$ .

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Étape 5.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $16 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2}) + 4 (4 y)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (1 \cdot (y^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.8

Simplifiez

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Étape 5.6.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1.8.1.1

Multipliez $y^{2} + 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.8.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4$ .

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Étape 5.6.1.8.2.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.8.2.2

Additionnez $4 y + 4$ et $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.8.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 0)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.8.2.4

Additionnez $4 y$ et $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{16 y}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.10

Réécrivez $16 y$ comme ${(2^{2})}^{2} y$ .

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Étape 5.6.1.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 y + 4 \pm 2^{2} \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$