Algèbre Exemples

$\sqrt[3]{2 x^{2} + 1} = - 2$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ comme ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x^{2} + 1)}^{1} = {(- 2)}^{3}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$2 x^{2} + 1 = {(- 2)}^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$2 x^{2} + 1 = - 8$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = - 8 - 1$

Étape 3.1.2

Soustrayez $1$ de $- 8$ .

$2 x^{2} = - 9$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 9$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 9$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{9}{2}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{9}{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{9}{2}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $- \frac{9}{2}$ comme $i^{2} \frac{3^{2}}{2}$ .

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Étape 3.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{9}{2}}$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3^{2}}{2}}$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3^{2}}{2}}$

Étape 3.4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{9}{2}}$

Étape 3.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{9}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \frac{3}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4.8

Associez $i$ et $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 3.4.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$