Algèbre Exemples

$\ln (\frac{1 + x y}{1 - x y}) - 2 x = c$

Étape 1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{1 + x y}{1 - x y}) = c + 2 x$

Étape 2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{1 + x y}{1 - x y})} = e^{c + 2 x}$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{1 + x y}{1 - x y}) = c + 2 x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{c + 2 x} = \frac{1 + x y}{1 - x y}$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1 + x y}{1 - x y} = e^{c + 2 x}$ .

$\frac{1 + x y}{1 - x y} = e^{c + 2 x}$

Étape 4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1 - x y, 1$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$1 - x y, 1$

Étape 4.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$1 - x y$

Étape 4.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1 + x y}{1 - x y} = e^{c + 2 x}$ par $1 - x y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1 + x y}{1 - x y} = e^{c + 2 x}$ par $1 - x y$ .

$\frac{1 + x y}{1 - x y} (1 - x y) = e^{c + 2 x} (1 - x y)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + x y}{1 - x y} (1 - x y) = e^{c + 2 x} (1 - x y)$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 + x y = e^{c + 2 x} (1 - x y)$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + x y = e^{c + 2 x} \cdot 1 + e^{c + 2 x} (- x y)$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.2.1

Multipliez $e^{c + 2 x}$ par $1$ .

$1 + x y = e^{c + 2 x} + e^{c + 2 x} (- x y)$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + x y = e^{c + 2 x} - e^{c + 2 x} (x y)$

Étape 4.3.3.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{c + 2 x} - e^{c + 2 x} (x y)$ .

$1 + x y = e^{c + 2 x} - x y e^{c + 2 x}$

Étape 4.4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.4.1

Ajoutez $x y e^{c + 2 x}$ aux deux côtés de l’équation.

$1 + x y + x y e^{c + 2 x} = e^{c + 2 x}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x y + x y e^{c + 2 x} = e^{c + 2 x} - 1$

Étape 4.4.3

Factorisez $x y$ à partir de $x y + x y e^{c + 2 x}$ .

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Étape 4.4.3.1

Factorisez $x y$ à partir de $x y$ .

$x y (1) + x y e^{c + 2 x} = e^{c + 2 x} - 1$

Étape 4.4.3.2

Factorisez $x y$ à partir de $x y e^{c + 2 x}$ .

$x y (1) + x y (e^{c + 2 x}) = e^{c + 2 x} - 1$

Étape 4.4.3.3

Factorisez $x y$ à partir de $x y (1) + x y (e^{c + 2 x})$ .

$x y (1 + e^{c + 2 x}) = e^{c + 2 x} - 1$

Étape 4.4.4

Divisez chaque terme dans $x y (1 + e^{c + 2 x}) = e^{c + 2 x} - 1$ par $x (1 + e^{c + 2 x})$ et simplifiez.

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Étape 4.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x y (1 + e^{c + 2 x}) = e^{c + 2 x} - 1$ par $x (1 + e^{c + 2 x})$ .

$\frac{x y (1 + e^{c + 2 x})}{x (1 + e^{c + 2 x})} = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Étape 4.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y (1 + e^{c + 2 x})}{x (1 + e^{c + 2 x})} = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Étape 4.4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (1 + e^{c + 2 x})}{1 + e^{c + 2 x}} = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Étape 4.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + e^{c + 2 x}$ .

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Étape 4.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 + e^{c + 2 x})}{1 + e^{c + 2 x}} = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Étape 4.4.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Étape 4.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{e^{c + 2 x} - 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$