Algèbre Exemples

$\frac{2 x + 3}{x + 4} + \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x - 8}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x + 3}{x + 4} + \frac{x - 1}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 x + 3}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x + 3}{x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 1}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 x + 3}{x + 4}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x + 3) (x - 2) + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(2 x + 3) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (x - 2) + 3 (x - 2) + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2) + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2 + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2 + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2 + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2 + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6 + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 + x - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 6 - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.4

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 - 1}{(x + 4) (x - 2)}$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 7}{(x + 4) (x - 2)}$