Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 12$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x) + 12}{x}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 2 \cdot 6}{x}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 6$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 2 x, x$

Étape 2.2

Since $x^{2}, 2 x, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}, x^{1}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 2.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $1, 2, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 2.8

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 2.9

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{1}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 2.11

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 2.12

Le plus petit multiple commun pour $x^{2}, 2 x, x$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 x^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$ par $2 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$ par $2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 ((x - 3) (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.2

Développez $(x - 3) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (x + 2) - 3 (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 (x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3 x - 6) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$2 (x^{2} - x - 6) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 6 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.5

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 6 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 (x)} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} (x \cdot x) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} (x \cdot x) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = (x - 6) x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x \cdot x - 6 x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Étape 3.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 2 \frac{2 (x + 6)}{x} x^{2}$

Étape 3.3.1.7

Multipliez $2 \frac{2 (x + 6)}{x}$ .

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Étape 3.3.1.7.1

Associez $2$ et $\frac{2 (x + 6)}{x}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{2 (2 (x + 6))}{x} x^{2}$

Étape 3.3.1.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} x^{2}$

Étape 3.3.1.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} (x \cdot x)$

Étape 3.3.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} (x \cdot x)$

Étape 3.3.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 (x + 6) x$

Étape 3.3.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + (4 x + 4 \cdot 6) x$

Étape 3.3.1.10

Multipliez $4$ par $6$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + (4 x + 24) x$

Étape 3.3.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 x \cdot x + 24 x$

Étape 3.3.1.12

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.12.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 (x \cdot x) + 24 x$

Étape 3.3.1.12.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 x^{2} + 24 x$

Étape 3.3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 5 x^{2} - 6 x + 24 x$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 6 x$ et $24 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 5 x^{2} + 18 x$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $5 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 2 x - 12 - 5 x^{2} = 18 x$

Étape 4.1.2

Soustrayez $18 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 2 x - 12 - 5 x^{2} - 18 x = 0$

Étape 4.1.3

Soustrayez $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x - 12 - 18 x = 0$

Étape 4.1.4

Soustrayez $18 x$ de $- 2 x$ .

$- 3 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} - 20 x - 12$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 20 x - 12 = 0$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 20 x$ .

$- (3 x^{2}) - (20 x) - 12 = 0$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$- (3 x^{2}) - (20 x) - 1 \cdot 12 = 0$

Étape 4.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (20 x)$ .

$- (3 x^{2} + 20 x) - 1 \cdot 12 = 0$

Étape 4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} + 20 x) - 1 (12)$ .

$- (3 x^{2} + 20 x + 12) = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 12 = 36$ et dont la somme est $b = 20$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Factorisez $20$ à partir de $20 x$ .

$- (3 x^{2} + 20 (x) + 12) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.2

Réécrivez $20$ comme $2$ plus $18$

$- (3 x^{2} + (2 + 18) x + 12) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} + 2 x + 18 x + 12) = 0$

Étape 4.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} + 2 x) + 18 x + 12) = 0$

Étape 4.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x + 2) + 6 (3 x + 2)) = 0$

Étape 4.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$- ((3 x + 2) (x + 6)) = 0$

Étape 4.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x + 2) (x + 6) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 4.4

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 4.5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x + 2) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, - 6$