Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 10 x + 24}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 11 x + 28} \div \frac{3 x^{2} - 147}{x^{2} - 49}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 10 x + 24}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 10 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 6, - 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + x - 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 42$ et dont la somme est $1$ .

$- 6, 7$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} - 7^{2}}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} - 11 x + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 7, - 4$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 7) (x - 4)} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $(x - 6) (x - 4)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 6)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 7) (x - 4)} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x - 4$ à partir de $(x - 7) (x - 4)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 6)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 4) (x - 7)} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (x - 6)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 4) (x - 7)} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 6}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x + 7$ à partir de $(x - 6) (x + 7)$ .

$\frac{x - 6}{(x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 6}{(x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 6}{x - 6} \cdot \frac{x - 7}{x - 7} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{x - 6}{x - 6}$ par $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 7)}{(x - 6) (x - 7)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 7

Annulez le facteur commun.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) (x - 7)}{(x - 6) (x - 7)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 7}{x - 7} \cdot \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 7}{x - 7} \cdot \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 8

Multipliez $\frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 7^{2}}{3 x^{2} - 147}$

Étape 9.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} - 147}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 147$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x^{2}) - 147}$

Étape 10.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 147$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 49}$

Étape 10.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 \cdot - 49$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x^{2} - 49)}$

Étape 10.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x^{2} - 7^{2})}$

Étape 10.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x + 7) (x - 7)}$

Étape 11

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 11.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x + 7) (x - 7)}$

Étape 11.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 7}{3 (x - 7)}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 7}{3 (x - 7)}$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$