Algèbre Exemples

$\frac{p^{2} + 2 p - 51}{p^{2} - 6 p - 27} - \frac{4}{p + 3}$

Étape 1

Factorisez $p^{2} - 6 p - 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 27$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 9, 3$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{p^{2} + 2 p - 51}{(p - 9) (p + 3)} - \frac{4}{p + 3}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{4}{p + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{p - 9}{p - 9}$ .

$\frac{p^{2} + 2 p - 51}{(p - 9) (p + 3)} - \frac{4}{p + 3} \cdot \frac{p - 9}{p - 9}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(p - 9) (p + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{4}{p + 3}$ par $\frac{p - 9}{p - 9}$ .

$\frac{p^{2} + 2 p - 51}{(p - 9) (p + 3)} - \frac{4 (p - 9)}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(p - 9) (p + 3)$ .

$\frac{p^{2} + 2 p - 51}{(p + 3) (p - 9)} - \frac{4 (p - 9)}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{p^{2} + 2 p - 51 - 4 (p - 9)}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p^{2} + 2 p - 51 - 4 p - 4 \cdot - 9}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 5.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$\frac{p^{2} + 2 p - 51 - 4 p + 36}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 5.3

Soustrayez $4 p$ de $2 p$ .

$\frac{p^{2} - 2 p - 51 + 36}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 5.4

Additionnez $- 51$ et $36$ .

$\frac{p^{2} - 2 p - 15}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 5.5

Factorisez $p^{2} - 2 p - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 5.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $p + 3$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 3) (p - 9)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p - 5}{p - 9}$