Algèbre Exemples

$\frac{1}{2 + 5 i} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{2 + 5 i}$ par le conjugué de $2 + 5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{2 + 5 i} \cdot \frac{2 - 5 i}{2 - 5 i} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1 (2 - 5 i)}{(2 + 5 i) (2 - 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.2

Multipliez $2 - 5 i$ par $1$ .

$\frac{2 - 5 i}{(2 + 5 i) (2 - 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Développez $(2 + 5 i) (2 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - 5 i}{2 (2 - 5 i) + 5 i (2 - 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 5 i) + 5 i (2 - 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 - 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 + 2 (- 5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (- 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i + 5 i (- 5 i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 i i} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 (i^{1} i)} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 (i^{1} i^{1})} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 i^{1 + 1}} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 10 i + 10 i - 25 i^{2}} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.9

Additionnez $- 10 i$ et $10 i$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 + 0 - 25 i^{2}} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 25 i^{2}} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 - 25 \cdot - 1} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 5 i}{4 + 25} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $4$ et $25$ .

$\frac{2 - 5 i}{29} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.3

Divisez la fraction $\frac{2 - 5 i}{29}$ en deux fractions.

$\frac{2}{29} + \frac{- 5 i}{29} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{4 + 3 i}{3 - i}$

Étape 1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4 + 3 i}{3 - i}$ par le conjugué de $3 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - (\frac{4 + 3 i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i})$

Étape 1.6

Multipliez.

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Étape 1.6.1

Associez.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{(4 + 3 i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.2.1

Développez $(4 + 3 i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{4 (3 + i) + 3 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{4 \cdot 3 + 4 i + 3 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{4 \cdot 3 + 4 i + 3 i \cdot 3 + 3 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 3 i \cdot 3 + 3 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.1.3

Multipliez $3 i i$ .

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Étape 1.6.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 (i^{1} i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 (i^{1} i^{1})}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 i^{1 + 1}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 i^{2}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i + 3 \cdot - 1}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{12 + 4 i + 9 i - 3}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.2

Soustrayez $3$ de $12$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 4 i + 9 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.2.2.3

Additionnez $4 i$ et $9 i$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.3.1

Développez $(3 - i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{3 (3 + i) - i (3 + i)}$

Étape 1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i (3 + i)}$

Étape 1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Étape 1.6.3.2

Simplifiez

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Étape 1.6.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Étape 1.6.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - i i}$

Étape 1.6.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i)}$

Étape 1.6.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 1.6.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{1 + 1}}$

Étape 1.6.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}}$

Étape 1.6.3.2.7

Soustrayez $3 i$ de $3 i$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Étape 1.6.3.2.8

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 - i^{2}}$

Étape 1.6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 - - 1}$

Étape 1.6.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{9 + 1}$

Étape 1.6.3.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9 + 13 i}{10}$

Étape 1.7

Divisez la fraction $\frac{9 + 13 i}{10}$ en deux fractions.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - (\frac{9}{10} + \frac{13 i}{10})$

Étape 1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{9}{10} - \frac{13 i}{10}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{29}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2}{29} \cdot \frac{10}{10} - \frac{9}{10} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{9}{10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{29}{29}$ .

$\frac{2}{29} \cdot \frac{10}{10} - \frac{9}{10} \cdot \frac{29}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $290$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{29}$ par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 \cdot 10}{29 \cdot 10} - \frac{9}{10} \cdot \frac{29}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 4.2

Multipliez $29$ par $10$ .

$\frac{2 \cdot 10}{290} - \frac{9}{10} \cdot \frac{29}{29} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{9}{10}$ par $\frac{29}{29}$ .

$\frac{2 \cdot 10}{290} - \frac{9 \cdot 29}{10 \cdot 29} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 4.4

Multipliez $10$ par $29$ .

$\frac{2 \cdot 10}{290} - \frac{9 \cdot 29}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 10 - 9 \cdot 29}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{20 - 9 \cdot 29}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 6.2

Multipliez $- 9$ par $29$ .

$\frac{20 - 261}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 6.3

Soustrayez $261$ de $20$ .

$\frac{- 241}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i}{29} - \frac{13 i}{10}$

Étape 8

Pour écrire $- \frac{5 i}{29}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i}{29} \cdot \frac{10}{10} - \frac{13 i}{10}$

Étape 9

Pour écrire $- \frac{13 i}{10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{29}{29}$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i}{29} \cdot \frac{10}{10} - \frac{13 i}{10} \cdot \frac{29}{29}$

Étape 10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $290$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{5 i}{29}$ par $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i \cdot 10}{29 \cdot 10} - \frac{13 i}{10} \cdot \frac{29}{29}$

Étape 10.2

Multipliez $29$ par $10$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i \cdot 10}{290} - \frac{13 i}{10} \cdot \frac{29}{29}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{13 i}{10}$ par $\frac{29}{29}$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i \cdot 10}{290} - \frac{13 i \cdot 29}{10 \cdot 29}$

Étape 10.4

Multipliez $10$ par $29$ .

$- \frac{241}{290} - \frac{5 i \cdot 10}{290} - \frac{13 i \cdot 29}{290}$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{241}{290} + \frac{- 427 i}{290}$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{241}{290} - \frac{427 i}{290}$