Algèbre Exemples

$f (x) = {(x + 4)}^{2} (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez le polynôme, puis remettez dans l’ordre de gauche à droite en commençant par le terme de degré le plus élevé.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$f (x) = (x + 4) (x + 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (x) = (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 8 x + 16) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.4

Développez $(x^{2} + 8 x + 16) (x + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x) = (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x) = (x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $16$ par $2$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x + 16 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $2 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 16 x + 16 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $16 x$ et $16 x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) ((x - 2) (x - 2))$

Étape 1.6

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 1.7.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 4 x + 4)$

Étape 1.8

Développez $(x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 4 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x \cdot 4 + 32 x^{2} + 32 (- 4 x) + 32 \cdot 4$

Étape 1.9

Simplifiez les termes.

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Étape 1.9.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x \cdot 4 + 32 x^{2} + 32 (- 4 x) + 32 \cdot 4$ .

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Étape 1.9.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $32 x \cdot 4$ et $32 (- 4 x)$ .

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 4 \cdot (32 x) + 32 x^{2} - 4 \cdot (32 x) + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.1.2

Soustrayez $4 \cdot 32 x$ de $4 \cdot 32 x$ .

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 0 + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.1.3

Additionnez $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2}$ et $0$ .

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.2.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = x^{3 + 2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (x) = x^{5} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} x + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.2.3.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.9.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.2.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 (x^{2} x^{2}) + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{2 + 2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{2} x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.2.7.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.9.2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{3}) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.8

Multipliez $10$ par $- 4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.9

Multipliez $4$ par $10$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.10

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.2.10.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.10.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.9.2.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{2 + 1} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 x \cdot x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.12

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.2.12.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 (x \cdot x)) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.12.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 x^{2}) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.13

Multipliez $32$ par $- 4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Étape 1.9.2.14

Multipliez $32$ par $4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Étape 1.9.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.9.3.1

Additionnez $- 4 x^{4}$ et $10 x^{4}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} + 4 x^{3} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Étape 1.9.3.2

Soustrayez $40 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 36 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Étape 1.9.3.3

Additionnez $- 36 x^{3}$ et $32 x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} + 40 x^{2} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Étape 1.9.3.4

Soustrayez $128 x^{2}$ de $40 x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} - 88 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Étape 1.9.3.5

Additionnez $- 88 x^{2}$ et $32 x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} - 56 x^{2} + 128$

Étape 2

Le degré d’un polynôme est le degré le plus élevé de ses termes.

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Étape 2.1

Identifiez les exposants sur les variables dans chaque terme et additionnez-les entre eux pour déterminer le degré de chaque terme.

$x^{5} \to 5$

$6 x^{4} \to 4$

$- 4 x^{3} \to 3$

$- 56 x^{2} \to 2$

$128 \to 0$

Étape 2.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$5$

Étape 3

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{5}$

Étape 4

Le coefficient directeur d’un polynôme est le coefficient du terme principal.

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Étape 4.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{5}$

Étape 4.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 5

Indiquez les résultats.

Degré polynomial : $5$

Terme principal : $x^{5}$

Coefficient directeur : $1$